Лас- универсальные константы и математика Они образуют странную пару: с одной стороны, у нас есть физические числа, которые, кажется, вписаны в саму ткань космоса; с другой — абстрактное здание теорем и доказательств, для существования которого не нужен атом материи. Когда мы задаемся вопросом, почему скорость света, постоянная Планка или гравитация именно такие, какие они есть, мы неизбежно сталкиваемся с вопросами о роли математики в реальности. В основе этого лежит глубокое сомнение: если бы мы изменили фундаментальные константы ВселеннойОстанутся ли те же самые математические принципы в силе? Или могут возникнуть математические логики и структуры, столь же отличающиеся, как физика той другой вселенной? Понимание того, что такое физические константы, как они соотносятся с нашими единицами измерения, какие их части произвольны, а какие действительно «естественны», отправляет нас в путешествие по истории науки, философии и современной космологии.
Что же на самом деле представляет собой универсальная константа?
Когда физики говорят о физическая постояннаяЭто значения величины, которая в рамках известных нам физических процессов не меняется со временем или местом. Типичными примерами являются скорость света в вакууме, гравитационная постоянная или элементарный заряд электрона: где бы вы ни проводили измерения, на Земле или в далёкой галактике, вы получите одно и то же число (в пределах экспериментальной точности). Однако это значение выражается в единицах произвольные человеческие единицыМетры, секунды, килограммы, кулоны… Сегодня мы используем Международную систему единиц (СИ), формализованную в 1960 году и с тех пор усовершенствованную, но на протяжении истории мы описывали одни и те же величины с помощью совершенно разных систем. Отсюда и полезность различения двух понятий: с одной стороны, чисел, зависящих от наших единиц (например, 299 792 458 м/с); с другой — чистых, безразмерных чисел, которые не меняются, даже если мы меняем систему единиц. Это различие связано со знаменитой идеей, приписываемой Эйнштейну в письме к Ильзе Розенталь-Шнайдер: существуют кажущиеся константы и реальные константыКажущиеся таковыми являются результат выбора единиц измерения и могут быть «исключены» с помощью соответствующего переопределения; реальными же были бы числа, которые «Богу пришлось выбрать» при создании Вселенной, подлинные фундаментальные параметры, определяющие, как выглядит всё сущее. Так называемые фундаментальные константы Они связаны с важнейшими физическими явлениями и, насколько нам известно, не могут быть вычислены из других констант. Мы можем измерять их с постоянно возрастающей точностью, но не можем вывести их значение из более глубоких принципов. Эта загадочная природа подпитывает дискуссию, выходящую за рамки физики: являются ли они продуктом более глубоких законов, которые мы до сих пор не понимаем, или же они просто результат «броска игральных костей» во время Большого взрыва?
Единицы измерения, консенсус и роль констант
Прежде чем всерьез обсуждать универсальные константы, необходимо понять, что наши единицы измерения В значительной степени это условность. Случай с зондом Mars Climate Orbiter, потерянным из-за путаницы между метрическими и имперскими единицами измерения, является ярким примером того, насколько дорого может обойтись неясность в этом вопросе. В результате длительного исторического процесса… Международная система единиц Семь основных единиц: метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль и кандела. От них определены десятки производных единиц (ньютон, джоуль, паскаль и т. д.), которые мы используем ежедневно. Интересно, что многие из этих единиц были точно переопределены путем фиксации значений некоторых универсальных констант. Сегодня скорость света в вакууме, c, принимается равной точное значение299 792 458 м/с. Это не означает, что свет «должен» распространяться с такой скоростью, а скорее, что мы зафиксировали её значение и определили метр таким образом, чтобы он соответствовал ей. Нечто подобное происходит с постоянной Планка, числом Авогадро или частотой сверхтонкого перехода цезия-133, которая используется для определения секунды. Для организации «зоопарка» констант с 1966 года существует… CODATA (Комиссия по данным для науки и технологий)Она собирает и рекомендует числовые значения для сотен физических констант. Одна из ее последних подборок включает около 230 констант, но лишь меньшинство из них имеет действительно глубокий концептуальный вес: c, G, h, постоянная тонкой структуры, массы элементарных частиц и т. д.
Некоторые ключевые примеры фундаментальных констант
Среди всех констант есть небольшая группа, которая действует как основы физического зданияИх ценности лежат в основе самых фундаментальных теорий и влияют на всё — от структуры атомов до эволюции Вселенной. скорость света в вакууме, cприблизительно 3,108 м/с. Эксперимент Майкельсона-Морли доказал, что эта скорость не зависит от движения источника излучения, опровергнув гипотезу об «эфире» как среде распространения. С тех пор преобразования Лоренца и специальная теория относительности Эйнштейна приняли скорость c как непреодолимый предел для передачи информации. универсальная гравитационная постоянная, GОна фигурирует в законе всемирного тяготения Ньютона и в уравнениях Эйнштейна. Возможно, это наименее точно измеренная константа из всех: у нас есть лишь несколько значащих цифр, которые можно с уверенностью установить. Тем не менее, мы знаем, что гравитация — это чрезвычайно слабая сила по сравнению с другими взаимодействиями; если бы она не была всегда притягивающей и действовала в больших масштабах, мы бы её почти не замечали. постоянная Планка, hОна обозначает квантовую шкалу: определяет минимальный размер «квантов действия» и входит в знаменитое соотношение E = hν между энергией и частотой. Её значение стало настолько фундаментальным, что сегодня она является частью самого определения килограмма. Другие основные константы — это элементарный заряд e, постоянная Больцмана k, el
Число Авогадро NA или световая эффективность Кcd для монохроматического излучения 540·1012 Гц. Помимо своей значимости в фундаментальной физике, все они имеют весьма конкретные проявления в химии, биологии, экологии и технике: они определяют, как организованы молекулы, как живые системы обмениваются энергией или как мы калибруем датчики и устройства.
Кажущиеся константы, действительные константы и чистые числа
Не все константы одинаково значимы. Некоторые, например, постоянная БольцманаИх можно интерпретировать, по сути, как коэффициенты пересчета между единицами энергии и температуры. Их числовое значение зависит от нашей системы единиц; если мы ее изменим, число изменится. Это те самые «кажущиеся константы», о которых говорил Эйнштейн. истинные универсальные константы В строгом смысле, они должны быть безразмерными, чистыми числами, не зависящими от изменения единиц измерения. Классическим примером является… постоянная тонкой структуры αкоторый измеряет интенсивность электромагнитного взаимодействия. Его приблизительное значение составляет 1/137, а точнее, CODATA рекомендует 137.035999084. Это число не зависит от метров или секунд: оно одинаково для любой цивилизации, использующей любую разумную систему единиц. α объединяет три мерные константы: постоянную Планка, элементарный заряд и скорость света. В некотором смысле, сведено к одному числу квантовая механика (h), электромагнетизм (e) и специальная теория относительности (c). Поэтому физики, такие как Фейнман, называли это «магическим числом, которое приходит к нам, не будучи понятым», а Дирак описывал это как «глубочайшую нерешенную проблему в физике». Другой способ «натурализовать» константы — использовать единицы ПланкаЭти константы строятся из c, G и h (а также постоянной Больцмана, если мы введем температуру). Планковская длина, планковское время или планковская масса определяют масштабы, на которых, как ожидается, квантовая гравитация станет актуальной. На этом масштабе наши нынешние теории перестают быть действительными, и мы предполагаем, что должно вступить в игру более полное описание пространства-времени. С этой точки зрения мы можем увидеть множество констант, которые мы используем ежедневно, таких как… производные параметры всего лишь нескольких действительно базовых значений. Диэлектрическая проницаемость свободного пространства, радиус Бора или постоянная Фарадея — это разные проявления одной и той же лежащей в основе физики, закодированные в комбинациях основных констант.
Действительно ли константы неизменяемы?
Увлекательная часть истории физики XX века связана с… возможное изменение констант В пространстве или космическом времени. Это не просто игра чисел: если бы хоть одно из них изменилось хотя бы немного, химия и жизнь в том виде, в каком мы их знаем, могли бы стать невозможными. Артур Эддингтон, известный, среди прочего, экспериментальным подтверждением общей теории относительности во время затмения 1919 года, был одержим идеей выведения значений констант из чисто математических принципов. Он пытался построить сложные численные доказательства, которые, играя с соотношениями между числами, «объясняли», почему определенные константы принимают наблюдаемые значения. Какое-то время коллеги, такие как сам Эйнштейн, относились к этим попыткам с любопытством, но вскоре стало ясно, что Эддингтон… Он насильно применил математические методы. для получения желаемых результатов. Его построения больше напоминали нумерологию, чем физику. Тем не менее, он посеял зерно беспокойства, которое подхватили и другие: подозрение, что за значениями констант могут скрываться неизвестные математические структуры. Поль Дирак был одним из тех, кто подхватил эту идею, хотя и с другим подходом. Он заметил, что несколько комбинации фундаментальных констант Эти совпадения привели к появлению огромных, казалось бы, связанных между собой чисел, так называемых «больших чисел совпадений». Это навело его на мысль, что, возможно, не всё является чистой случайностью и что за этими совпадениями может стоять простая математическая зависимость. В 1937 году Дирак опубликовал статью в журнале Nature, в которой предположил, что гравитационная постоянная G Возможно, это менялось на протяжении космического времени. Если бы это было правдой, некоторые константы, которые мы считаем универсальными, на самом деле были бы медленно изменяющимися параметрами. Эта линия рассуждений перекликается с современными идеями, которые рассматривают возможность того, что определенные константы действительно зависят от истории Вселенной или от еще не идентифицированных фоновых полей. Наблюдательные данные свидетельствуют о вариациях таких констант, как… постоянная тонкой структуры Анализ спектров далёких галактик в некоторых исследованиях предполагает существование «предпочтительного направления» во Вселенной, где α может принимать несколько иные значения, что прямо противоречит принципу эквивалентности и общей теории относительности. Однако большинство научного сообщества считает имеющиеся данные неубедительными и полагает, что эти результаты могут быть следствием систематических ошибок или поспешных интерпретаций.
Постоянные величины, жизнь и антропический принцип
Есть один особенно деликатный аспект: чувствительность жизни к значениям констант. Небольшое изменение массы протона, заряда электрона или интенсивности электромагнитной силы может препятствовать образованию стабильных атомов, сложных молекул или ядерных процессов в звездах, таких как те, которые производят углерод. Было подсчитано, например, что если бы постоянная тонкой структуры α изменялась всего на несколько частей на десять миллионов, химия в том виде, в каком мы ее знаем, резко бы изменилась. По оценкам, при увеличении всего на 4% некоторые ядерные реакции в звездах перестали бы эффективно производить углерод, что привело бы к коллапсу нашей биохимии, основанной на этом элементе. Эта кажущаяся «тонкая настройка» заставляет некоторых обращаться к… антропический принципТот факт, что мы можем наблюдать Вселенную, уже подразумевает, что её константы должны находиться в соответствующем диапазоне, позволяющем наблюдать за ней. В более надёжных версиях обсуждается возможная «мультивселенная», где разные вселенные будут иметь разные значения этих констант, и мы просто будем обитать в той (или тех), где жизнь возможна. Другие учёные более осторожны и предпочитают рассматривать тонкую настройку как… открытая проблемаВозможно, более глубокая теория, которая еще не открыта, обязательно определит значения этих констант, не прибегая к теории множественных вселенных или антропным аргументам. На данный момент у нас такой теории нет, поэтому вопрос остается совершенно открытым. В любом случае, наш текущий опыт показывает, что фундаментальные константы Они, кажется, не меняются. В пределах достигнутых погрешностей измерений, ни в нашей среде, ни в наблюдаемом космосе. Если вариации и существуют, то они должны быть чрезвычайно малыми и труднообнаружимыми с помощью современных технологий.
Куб теорий и граница планковских единиц
Очень наглядный подход к пониманию роли констант c, G и h — это так называемый куб теорийВведенная Бронштейном, Гамовым, Иваненко и Ландау. Представьте себе трехмерный куб, где каждая ось соответствует «включению» или «выключению» одной из этих фундаментальных констант в том смысле, что ее влияние считается существенным или пренебрежимо малым. Если мы одновременно игнорируем гравитацию (G), теорию относительности (c) и квантовую механику (h), мы остаемся в углу классическая ньютоновская механикаЕсли мы включим только c, мы войдем в специальную теорию относительности; если мы включим G без c или h, мы получим ньютоновскую гравитацию; если мы включим h без G или c, мы перейдем к нерелятивистской квантовой механике; и так далее, пока не достигнем наиболее «полного» уровня, где все три константы играют существенную роль, и мы должны получить полностью релятивистскую теорию квантовой гравитации. единицы Планка Они точно отмечают точку пересечения этих трех осей: длины порядка 10.-33 см, умножить на 10-43 и температура около 1032 К. Считается, что Вселенная в первые бесконечно малые доли секунды после Большого взрыва достигла этих экстремальных условий. За пределами этой точки наши современные теории — общая теория относительности и квантовая теория поля — перестают быть надежными по отдельности. Поэтому большая часть современных усилий направлена на формулирование теория квантовой гравитацииБудь то теория струн, теория петель или подходы к «двойной» или искривленной специальной теории относительности, все эти предложения направлены на расширение общей теории относительности в рамках квантованной или дискретной пространственно-временной структуры, в которой константы c, G и h были бы объединены в новой концептуальной основе. Между тем, мы живем во Вселенной, где общая теория относительности описывает крупномасштабное поведение с большой точностью — галактики, скопления, космическое расширение — и квантовая теория поля делает то же самое в микроскопической области субатомных частиц. универсальные константы выступают в качестве моста. Между этими двумя крайностями устанавливаются масштабы массы, длины и энергии, которые придают целостность целому.
Математика и константы: универсальна ли математика?
Всё вышеизложенное возвращает нас к первоначальному вопросу: если бы мы изменили значения фундаментальные константыОстанутся ли математики прежними? Чтобы ответить на этот вопрос, полезно различать два уровня: уровень абстрактных математических структур и уровень конкретных физических моделей, которые мы на их основе строим. Основные истины, такие как… 1 + 1 = 2 Или же элементарные свойства арифметики (коммутативность, ассоциативность и т. д.) выводятся из очень общих логических аксиом. Эти аксиомы не содержат ссылок на протоны, электроны или физические константы. С этой точки зрения многие разделы математики кажутся независимо от физической реальностиМы могли бы представить себе вселенную с другими константами или даже без материи, и доказательства все равно оставались бы действительными в рамках их аксиоматической системы. Вопрос в том, что же это такое. Математические структуры были бы уместны. или «естественной» во вселенной с другой физикой. В нашей вселенной евклидова геометрия является полезным приближением на малых масштабах, в то время как искривленная риманова геометрия фундаментальна для описания гравитации. Теория групп симметрии имеет решающее значение в Стандартной модели физики элементарных частиц. Если бы физические законы были другими, возможно, доминирующая геометрия была бы другой, или для описания экзотических явлений использовались бы другие типы логики. В философии математики эта дискуссия часто суммируется в таких контрастах, как… Платонизм против формализмаПлатонизм утверждает, что математические сущности существуют независимо от нас и любой физической вселенной; мы просто их открываем. С этой точки зрения, математика действительно была бы «универсальной» в строгом смысле слова: любой разум в любой вселенной, следующий последовательному рассуждению, пришел бы к эквивалентным теоремам. Формализм и связанные с ним позиции рассматривают математику скорее как системы правил Мы конструируем их для организации символов. В этом случае те части математики, которые мы используем наиболее интенсивно, будут сильно зависеть от структуры Вселенной, в которой мы живем. Другие разумные существа в других вселенных могли бы разработать совершенно иную математику, поскольку их физическая реальность «требовала бы» других концептуальных инструментов. Какую бы позицию мы ни заняли, опыт современной физики указывает на нечто тревожное: Математические уравнения удивительно хорошо сочетаются друг с другом. со структурой мира. Несколько констант, вложенных в относительно компактные уравнения, позволяют нам описывать огромный спектр явлений, от орбиты звезды до испускания атома. Эта «невероятная эффективность» математики, как её назвал Вигнер, является одной из величайших философских загадок науки.
Константы, человеческий разум и знания
Такие авторы, как Макс Планк, подчеркивали, что универсальные константы Это числа, которые «не были изобретены человеком», а обнаружены в природе, и любой разум в любом уголке космоса должен был бы обнаружить, что они одинаковы, независимо от используемых методов или инструментов. Для Планка эта инвариантность была доказательством существования объективной физической реальности, отдельной от нашего разума. В то же время, тот факт, что мы зависим от таких констант, как c, G или o, для определить наши стандарты измерения Это показывает, насколько тесно наши знания переплетены с тем, чего мы не знаем. Как резюмировал Хесус Наварро в своей книге об универсальных константах, эти числа отражают как то, что мы понимаем о Вселенной, так и то, что мы до сих пор не можем объяснить: мы знаем их значения с большой точностью, но не знаем, откуда они «берутся». На практике эти константы обозначают пределы наших современных теорий. Мы знаем, что общая теория относительности очень хорошо работает в огромном диапазоне масштабов, но она концептуально рушится, когда мы приближаемся к временам короче планковского времени или длинам короче планковской длины. Мы знаем, что квантовая механика успешно описывает микроскопический мир, но неясно, как элегантно связать её с гравитацией на экстремальных масштабах. Между тем, видимая Вселенная продолжает эволюционировать под незримым руководством этих констант. кажущиеся неизменными величиныОни задают ритм космосу, обеспечивают стабильность атомов и молекул, делают возможными информацию, химию и, в конечном итоге, существ, способных задавать вопросы обо всем этом. Если мы когда-нибудь создадим теорию, которая естественным образом выведет значения констант, возможно, мы также обнаружим, почему одни математические структуры, а другие — нет, описывают наш мир с такой точностью. До тех пор универсальные константы останутся точкой соприкосновения между нашей наиболее устоявшейся физикой и нашими глубочайшими сомнениями относительно природы реальности и самой математики.